В сфере научных интересов Г. находились вопросы теории и практики преподавания китайского языка и каллиграфии

Сфера научных интересов Г. весьма обширна, в своих многократно издаваемых лекциях он обращался к основным сюжетам истории античного мира, Средних веков, Нового времени. Наибольшую известность Г. получил благодаря написанию многочисленных учебных пособий и хрестоматий по истории России и Западной Европы для средней школы. В данных изданиях Г. приводит отрывки из основных источников по российской и европейской истории, а также фрагменты важнейших исследований отечественных историков – Н.М.Костомарова, К.Р.Бестужева-Рюмина, О.Ф.Миллера, Н.М.Карамзина и др.

Археология, средневековая история России, археология Новгорода, изучение иконописи и монументальной живописи

Математика, механика. Основатель научной школы. Научные работы относятся к общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных, математической физике, теории потенциала. Широко использовал идеи и методы теории функций действительного переменного и функционального анализа. Доказал существование и единственность решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости при наличии внешней потенциальной силы. Его лекции легли в основу учебников и учебных пособий, переиздававшихся неоднократно, он был также соавтором (с Р.О. Кузьминым) и редактором (до 1941) широко известного «Сборника задач по высшей математике» в трёх томах, переведённого на немецкий язык, последнее, 13-е издание которого вышло в 2003 году. Впервые (1934) дал строгое и систематическое изложение современного состояния теории потенциала. Г. широко пользовался идеями и методами теории функций действительного переменного и функционального анализа (функции от областей, интеграл Стилтьеса) при решении задач математической физики. Автор монографии по теории уравнений в частных производных и по теории потенциалов.

Эмбриология, зоология. Специалист по фауне и эмбриологии морских и наземных беспозвоночных. Одним из главных направлений его научной работы было изучение проблемы регенерации у низших животных. Занимался экспериментальным изучением регенерации у офиур, кишечнодышащих и немертин; у последних установил возможность регенерации кишечника из бескишечных отрезков тела (1915). Автор работ по фаунистике и эмбриологии морских и наземных беспозвоночных Индокитая. Автор фундаментальных трудов по фауне и эмбриологии морских и наземных беспозвоночных. Изучал морфологию выделительных и фагоцитарных органов членистоногих. Провел экспериментальные исследования регенерации у различных групп беспозвоночных. Изучал жизнь животных на Яве, Молуккских островах, в Новой Гвинее, Лапландии, Памире, Судане, Египте и Персии. Жил на Мадагаскаре. Там открыл более сотни видов новых животных.

Д. – специалист по истории русского права XVI-XVII вв. В своих исследованиях Д. обращался к изучению приказной системы Московского государства, а также юридического положения податных сословий.

Сочинение Д. «О татаро-ногайской культуре Центрально-Европейской России» (Харьков, 1816) снискало ему известность при дворе, он был награжден бриллиантовым перстнем, однако книга отличалась предвзятым изображением усилий правительства цивилизовать ногайцев, которые якобы под влиянием этих мер «отказались от кочевой жизни». Исторические взгляды Д. не удовлетворяют требованиям даже его времени: их философская основа – провиденциализм в духе Ж. Б. Боссюэ. Характер его сочинений свидетельствует о достаточно дилетантских, преимущественно «собирательских» методах написания истории изучаемых Д. учреждений. Однако в 1811 г. в Харьковском университете Дегуров получил докторскую степень за свои сочинения. Заняв кафедру всеобщей истории и пост декана в С.-Петербургском университете, Д. стал выразителем установки министерства на усиление надзора за университетами и пересмотр учебных программ в сторону клерикализации содержания и сокращения объема преподавания «общественных» наук. В этом духе была выдержана его ультрареакционная речь «De la direction donnee a l’enseignement dans les universites» [О направлении, определенном для преподавания в университетах] (СПб., 1823). Несколько раз...

Анатомия, гистология, эмбриология. Труды Д. произвели переворот в тогдашних представлениях о строении нервной системы у круглых червей. В своей работе Д. окончательно опроверг укоренившуюся тогда в зоологической литературе идею о непосредственном переходе нервных волокон в мышечные. Д. были выполнены серии работ по развитию костной ткани и формированию основного вещества ряда мезенхимных тканей, по гистологии нервной системы (нервы барабанной перепонки, нервная система аскариды, влияние температуры на регенерацию нервов).

Фитопатология

Исследования в области аналитической механики, теории удара, теории механизмов. Основатель Киевского общества воздухоплавания, один из пионеров русского планеризма, пропагандист и популяризатор авиационных знаний. Автор руководства по планеризму, а также ряда учебников по механике. Изобрел несколько приборов, в том числе эллипсограф, гиперболограф